Square Wheel

Das Problem des quadratischen Rades habe ich etwas ausführlicher gerechnet und das Problem auf beliebige Formen des Rades und der Unterlage ausgedehnt. Dabei ist auch die Parametrisierung sowohl des Rades als auch der Unterlage zunächst frei wählbar — im Prinzip wird deshalb nicht zwischen Rad und Unterlage unterschieden. Beide Kurven rotieren und haben eine gewisse Lineargeschwindigkeit (man stellt natürlich fest, dass lediglich die Relativgeschwindigkeit von Belang ist).

Anschließend stellt sich heraus, dass die Gleichungen sich in zwei Fällen stark vereinfachen. Der eine ist jener, bei dem eine der Kurven nicht rotiert. Diese wählt man zweckmäßigerweise statisch, bezeichnet sie als Unterlage und lässt ein Rad auf ihr abrollen. Der andere Fall ist das Verschwinden der Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Kurven. Das ist der Fall von zwei "Zahnrädern", deren Achsen sich nicht bewegen. Die Bezeichnung "Zahnrad" trifft meiner Meinung nach am besten die Funktionsweise, soll allerdings nicht nahelegen, dass die Kurven tatsächlich irgendwelche Zähne haben müssen. Interessanterweise führen beide Fälle sogar zunächst auf dieselben Gleichungen. Ab einem gewissen Zeitpunkt wählt man schließlich eine polare Parametrisierung für das Rad und die beiden Zahnräder, und eine kartesische für die Unterlage.

Von der mathematischen Struktur her führt das Problem auf Differentialgleichungen, die gleichzeitig Funktionalgleichungen sind. Bei den Zahnrädern handelt es sich dabei um zwei Gleichungen, davon involviert die eine zwei Verkettungen von vier Funktionen und die andere ist eine Differentialgleichung, die neben ganz ähnlichen Verkettungen die zeitliche Ableitung von zwei der Funktionen enthält. Man muss anfänglich also zwei Funktionen angeben, und erhält zwei Funktionen als Lösungen. Etwas genauer handelt es sich dabei um die funktionale Form der beiden Zahnräder und die Drehwinkel (des Kontaktpunktes, um ganz genau zu sein) als Funktionen der Zeit. Der behandelte Fall ist der eines bekannten Zahnrades mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit; die Lösung ist die Form des anderen Zahnrades und dessen Winkelgeschwindigkeit, die jetzt im Allgemeinen nicht mehr zeitlich konstant ist. Die Struktur beim Rad-Unterlage-Problem ist ganz ähnlich.

Im Skript werden für die beiden Fälle formale Lösungen angegeben. Dabei muss, um diese endgültig auszuführen jeweils eine Stammfunktion berechnet und invertiert werden. Es werden außerdem Skalierungseigenschaften untersucht, im Falle der Zahnräder also z. B. die Frage, welchen Einfluss auf die Form des zweiten Zahnrades die Vergrößerung des ersten um einen konstanten Faktor hat. An einigen Beispielen wird das Vorgehen demonstriert. Darunter sind als Räder die Kegelschnitte enthalten, als Unterlagen die trigonometrischen Funktionen. Auch der berühmte Fall der Parabel, die auf einer kongruenten Parabel als Unterlage abrollt, wird untersucht. Der verglechbare Fall bei kongruenten Zahnrädern ist der zweier (verallgemeinerten) Ellipsen.

Bei den Zahnrädern taucht eine interessante Notwendigkeit einer Quantisierung des Achsabstandes auf. Tatsächlich möchte man ja, dass die Drehung der beiden Figuren beliebig lange andauert. Das erfordert, bei Vorgabe eines der Zahnräder meist, dass das andere nach Durchlaufen einer ganzen Umdrehung auch da schließt, wo es angefangen hat. Zudem müssen die Bogenlängen zusammenpassen — bei unsymmetrischen Figuren sogar gleich sein. Bei symmetrischen Figuren, so wie Zahnräder üblicherweise ausgeführt sind, müssen nur die Bogenlängen der einzelnen "Zähne" gleich sein. Eine Änderung des Achsabstandes ändert das Aussehen des zweiten Zahnrades, und damit dessen Gesamt-Bogenlänge. Dabei sind aber eben nur diskrete Werte erlaubt, damit die Zunahme der Bogenlänge gleich der Bogenlänge eines weiteren Zahnes ist. Für (verallgemeinert) ellipsenförmige Zahnräder ist der Zusammenhang explizit angegeben (natürlich ohne dass die Bogenlänge explizit bestimmt werden musste, was bei Ellipsen ja analytisch nicht möglich ist).

Unter dem Link sind einige Animationen aus einer kleinen Simulation (VB6). Die Seite braucht etwas mehr zum Laden, weil die gif's relativ groß sind.

pdf: Square Wheel

Last modified: Tue Apr 21 11:40:05 CEST 2015