Asphären

Man nimmt gerne hin, dass Linsen durch Kugelausschnitte begrenzt werden (etwa in der Linsenschleiferformel). Das ist aber nicht optimal. Eine kugelfömige Grenzfläche (oder ihrer zwei) fokussiert nicht exakt, sondern erzeugt eine Brennkurve. Ein Fokus ergibt sich nur in der paraxialen Näherung (erste Taylor-Näherung der involvierten trigonometrischen Funktionen), die bei Winkeln größer als etwa 10 Grad nicht mehr als eine gute angenommen werden kann.

Bemerkenswert fand ich, dass man die Form einer brechenden Grenzfläche, die einen exakten Fokus hat, analytisch bestimmen kann. Die Herleitung zeigt, dass die Kegelschnitte Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung sind. Damit wird der Leser sicher auch besser den Ursprung der Formel verstehen, die auf dem wikipedia Artikel angegeben ist. Tatsächlich kann man die Differentialgleichung auch direkt integrieren, mit ein wenig mehr Aufwand. Die Bilder entstammen einer kleinen Simulation in VB6, die ich damals geschrieben habe. Sie erlaubte es auch, die Gleichung numerisch zu lösen.

Ich bin 2015 von Frank S. darauf aufmerksam gemacht worden, dass Feynman ähnliche Probleme in einem seiner Bücher mithilfe des Fermatschen Prinzips löst. Die Frage nach einem Fokus wird darin umgeformt in eine Frage nach allen Pfaden gegebener Länge. Damit führt das Problem der Asphäre lediglich auf eine algebraische Gleichung. Mathematisch ist das in diesem Fall äquivalent zum Auffinden eines integrierenden Faktors der Differentialgleichung, und somit der tiefe Grund für die wundersame Lösung ihrer. Ich sehe allerdings nicht, wie man dieses Verfahren so verallgemeinern kann, dass es erlaubt, für gegebene Differentialgleichungen anderer Art die integrierenden Faktoren zu bestimmen.

Auf tatsächliche Linsenformen lassen sich die Ergebnisse übertragen, indem man an derjenigen Seite, von der der Lichteinfall (als parallel angenommen) kommt, eine plane Grenzfläche hinzufügt. Durch sie dringen die Strahlen unverändert. Damit hat man das Problem für plankonvexe und plankonkave Asphären gelöst. Allen Lösungsversuchen, die auf dem Snellius'schen Brechungsgesetz beruhen, hat bisher das Problem widerstanden, eine weitere gekrümmte Grenzfläche hinzuzunehmen, oder auch nur konkavplane oder konvexplane Linsen zu untersuchen. Die letzteren unterscheiden sich deswegen von den bereits gelösten, weil die Lichtstrahlen nach dem Durchtreten durch die gekrümmte Oberfläche nicht mehr als paralleles Bündel auf die plane Fläche treffen. Die neue Idee, auch diese Situationen mithilfe des Fermatschen Prinzips zu studieren, habe ich noch nicht umgesetzt, sie scheint mir aber erfolgsversprechend zu sein.

pdf: Best form lens

Last modified: Mon Jul 12 18:33:06 CEST 2021